2019 年辽宁省沈阳市铁西区中考数学二模试卷

一、选择题

1 ．（3 分） 下列各数中，比

小的是（ ）

A ．4 B ．| ﹣ 3| C ．2 D ． ﹣ （ ﹣ 5）

2 ．（3 分） 截止 2018 年末，某市常住人口约为 8294000 人，将数据 8294000 用科学记数法

表示为（ ）

A ．8.294×106 B ．82.94×105 C ．8.294×105 D ．8294×103

3 ．（3 分） 如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的主视图是（ ）

A ．

B．

C ．

D ．

4 ．（3 分） 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）

A ．3cm ，5cm ，7cm B ．7cm ，7cm ，14cm

C ．4cm ，5cm ，9cm D ．2cm ，1cm ，3cm

5 ．（3 分） 计算 a3•a3 结果是（ ）

A ．2a3 B ．a9 C ．a5 D ．a6

6 ．（3 分） 小刚是一名学校足球队的队员，根据以往比赛数据统计，小刚每场比赛进球率为 15% ，他明天将参加一场学校足球队比赛，下面说法正确的是（ ）

A ．小刚明天肯定进球

B ．小刚明天每射球 15 次必进球 1 次

C ．小刚明天有可能进球

D ．小刚明天一定不能进球

7 ．（3 分） 我们知道：

，那么计算：

，结果为 第 1页（共 29页）

．

．

C

D

（ ）

A ．

B．

8 ．（3 分） 如图，平行四边形 ABCD 中，E ，F 是对角线 BD 上的两点，如果添加一个条件

使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（ ）

A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D ． ∠1＝ ∠2

9 ．（3 分） 对一组数据： 3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，下列说法正确的是（ ）

A ．平均数是 4.5 B ．众数是 5

C ．中位数是 5.5 D ．方差是 2

10 ．（3 分） 如图，正比例函数y1＝k1x 的图象与反比例函数y2＝

的图象相交于 A ，B 两 点，其中点A 的横坐标为 2 ，当y1＜y2 时，x 的取值范围是（ ）

A．x＜ ﹣ 2 或 x＞2

C ． ﹣ 2＜x＜0 或 0＜x＜2

二.填空题

B．x＜ ﹣ 2 或 0＜x＜2

D ． ﹣ 2＜x＜0 或 x＞2

11 ．（3 分） 因式分解： 3a3 ﹣ 27ab2＝ ．

12 ．（3 分） 已知关于 x 的一元二次方程 x2+kx ﹣ 3＝0 有一个根为 1 ，则 k 的值为 ．

13 ．（3 分） 已知扇形的弧长为 8π ，圆心角为 60° ，则它的半径为 ．

14 ．（3 分） 如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端 30 米的 B 处， 测得树顶A 的仰角∠ABO 为 31° ，则树 OA 的高度约为 米（结果精确到 0. 1 米，

sin31°≈0.5150 ，cos31°≈0.8572 ，tan31°≈0.6009）

15 ．（3 分） 如图，二次函数y＝

（a ，b ，c 是常数且 a 为正整数） 的图象与 x 轴交于点A（ ﹣ 1 ，0）与y 轴的交点 B 在（0 ，2）与（0 ，3）之间（不包括这两点），对 称轴为直线 x＝2 ，则 a+bc 的值为 ．

16 ．（3 分） 如图，△ABC 中，∠A＝60°，AC＞AB＞2 ，点 D，E 分别在边AB，AC 上，且

BD＝CE＝2，连接 DE，点 M 是 DE 的中点，点 N 是 BC 的中点，线段 MN 的长为 ．

三、解答题（共 9 小题，满分 0 分）

17 ．计算：

+ （ ﹣ 2019）0 ﹣ 8cos45°+ （

） ﹣ 1

18 ．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC 过点 C 的射线 CF 交边 AB 于点 F，AD⊥

CF 于点 D ，BE⊥CF 于点 E，AD＝3 ，BE＝1．

（1）求证： △ADC≌△CEB．

（2）求 DE 的长．

19 ．如图所示的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字 ﹣ 1 ，0 ，1，2．若 转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，

不记，重转），请用树状图或列表法求记录的两个数字都是正数的概率．

20．某学校为了了解九年级学生的体能情况，抽取了部分学生进行了体能测试，学生的测试 成绩分四类： A：优秀； B： 良好； C：合格； D 不合格，将抽测学生的成绩绘制成如下 两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：

（1）求本次调查的学生总人数；

（2）成绩为 C 的女生有 人，成绩为 D 的男生有 人；

（3）扇形统计图中成绩为 D 的学生所对应的扇形的圆心角度数为 ；

（4）补全条形统计图．

21．一艘轮船在静水中的最大航速为 35 千米/时，当江水匀速流动时，这艘轮船以最大航速

沿江顺流航行 120 千米所用时间，与以最大航速沿江逆流航行 90 千米所用时间相同，求

江水的流速．

22 ．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，点 O 在边 BC 上，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆 经过点A ，过点 A 作直线AD ，使∠CAD＝2∠B．

（1）判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）若 OB＝4 ， ∠CAD＝60° ，请直接写出图中弦AB 与

围成的阴影部分的面积．

23 ．如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为（7 ，5），顶点A ，C 分别在

x 轴，y 轴上，点 D 的坐标为（0 ，1），过点 D 的直线与矩形 OABC 的边 BC 交于点 G，

且点 G 不与点 C 重合，以 DG 为一边作菱形 DEFG ，点 E 在矩形 OABC 的边 OA 上，设 直线 DG 的函数表达式为y＝kx+b

（1）当 CG＝OD 时，求直线 DG 的函数表达式；

（2）当点 E 的坐标为（5 ，0）时，求直线 DG 的函数表达式；

（3）连接 BF，设△FBG 的面积为 S，CG 的长为 a ，请直接写出 S 与 a 的函数表达式及

自变量 a 的取值范围．

24 ．如图，△ABC 中， ∠ACB＝90°，AC＝4 ，BC＝6 ，点 E ，F 分别在边 AB ，BC 上，将 △ABC 沿直线 EF 折叠，点 B 恰好落在 AC 边上的点 D 处，且 CD＝3．

（1）求 CF 的长；

（2）点 G 是射线 BA 上的一个动点，连接 DG ，GC，BD ，△DGC 的面积与△DGB 的面

积相等，

①当点 G 在线段 BA 上时，求 BG 的长；

②当点 G 在线段 BA 的延长线上时，BG＝ ；

（3）将直线 EF 平移，平移后的直线与直线 BC ，直线 AC 分别交于点 M 和点 N，以线 段 MN 为一边作正方形MNPQ ，点 P 与点 B 在直线 MN 两侧，连接 PD ，当 PD∥BC 时， 请直接写出tan∠QBC 的值．

25 ．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx ﹣

，过点 A（ ﹣ 3，2

）和点 B（2，

），与y 轴交于点 C，连接 AC 交 x 轴于点 D ，连接 OA ，OB

（1）求抛物线y＝ax2+bx ﹣

的函数表达式；

（2）求点 D 的坐标；

（3） ∠AOB 的大小是 ；

（4）将△OCD 绕点 O 旋转，旋转后点 C 的对应点是点 C′ ，点 D 的对应点是点D′， 直线AC′与直线 BD′交于点 M，在△OCD 旋转过程中，当点 M 与点 C′重合时，请 直接写出点 M 到 AB 的距离．

2019 年辽宁省沈阳市铁西区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1 ．（3 分） 下列各数中，比

小的是（ ）

A ．4 B ．| ﹣ 3| C ．2 D ． ﹣ （ ﹣ 5）

【分析】 有理数大小比较的法则： ①正数都大于 0；②负数都小于 0；③正数大于一切

负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．

【解答】 解： ∵4＞

，

| ﹣ 3|＝3＞

，

2＜

，

﹣ （ ﹣ 5）＝5＞

，

∴比

小的是 2．

故选： C．

【点评】 此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明 确： ①正数都大于 0；②负数都小于 0；③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大 的其值反而小．

2 ．（3 分） 截止 2018 年末，某市常住人口约为 8294000 人，将数据 8294000 用科学记数法

表示为（ ）

A ．8.294×106 B ．82.94×105 C ．8.294×105 D ．8294×103

【分析】 科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值＞ 10 时，n 是正数； 当原数的绝对值＜ 1 时，n 是负数．

【解答】 解： 将数据 8294000 用科学记数法表示为 8.294×106，

故选： A．

【点评】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其 中 1≤|a|＜10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．

3 ．（3 分） 如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的主视图是（ ）

A．

．

B．

．

C

D

【分析】 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】 解： 从正面看第一层是三个正方形，第二层是左边一个正方形，如图所示：

故选： C．

【点评】 本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．

4 ．（3 分） 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）

A ．3cm ，5cm ，7cm B ．7cm ，7cm ，14cm

C ．4cm ，5cm ，9cm D ．2cm ，1cm ，3cm

【分析】 两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一

个三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断．

【解答】 解： 根据三角形任意两边的和大于第三边，得

A 中，3+5＞7 ，能组成三角形；

B 中，7+7＝14 ，不能组成三角形；

C 中，4+5＝9 ，不能够组成三角形；

D 中，2+1＝3 ，不能组成三角形．

故选： A．

【点评】 本题考查了能够组成三角形三边的条件： 用两条较短的线段相加，如果大于最

长的那条线段就能够组成三角形．

5 ．（3 分） 计算 a3•a3 结果是（ ）

A ．2a3 B ．a9 C ．a5 D ．a6 第 8页（共 29页）

．

．

将各个加数进变形，然后计算即可．

A ．

【分析】 先根据

C

D

【分析】 直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．

【解答】 解： a3•a3＝a6．

故选： D．

【点评】 此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

6 ．（3 分） 小刚是一名学校足球队的队员，根据以往比赛数据统计，小刚每场比赛进球率为

15% ，他明天将参加一场学校足球队比赛，下面说法正确的是（ ）

A ．小刚明天肯定进球

B ．小刚明天每射球 15 次必进球 1 次

C ．小刚明天有可能进球

D ．小刚明天一定不能进球

【分析】 直接利用概率的意义分析得出答案．

【解答】 解： 根据以往比赛数据统计，小刚每场比赛进球率为 15% ，他明天将参加一场 比赛小刚明天有可能进球．

故选： C．

【点评】 此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．

7 ．（3 分） 我们知道：

，那么计算：

，结果为 （ ）

B ．

，

【

＝

解答】 解： 原式＝

＝

＝

，

故选： B．

【点评】 本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中

的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．

8 ．（3 分） 如图，平行四边形 ABCD 中，E ，F 是对角线 BD 上的两点，如果添加一个条件

使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（ ）

A．AE＝CF B．BE＝FD C．BF＝DE D ． ∠1＝ ∠2

【分析】 利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可．

【解答】 解： A 、当 AE＝CF 无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；

B 、当 BE＝FD，

∵平行四边形ABCD 中，

∴AB＝CD ， ∠ABE＝ ∠CDF，

在△ABE 和△CDF 中

， ∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；

C、当 BF＝ED，

∴BE＝DF，

∵平行四边形ABCD 中，

∴AB＝CD ， ∠ABE＝ ∠CDF，

在△ABE 和△CDF 中

， ∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；

D 、当∠1＝ ∠2，

∵平行四边形ABCD 中，

∴AB＝CD ， ∠ABE＝ ∠CDF，

在△ABE 和△CDF 中

， ∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；

故选： A．

【点评】 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全 等三角形的判定方法是解题关键．

9 ．（3 分） 对一组数据： 3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，下列说法正确的是（ ）

A ．平均数是 4.5 B ．众数是 5

C ．中位数是 5.5 D ．方差是 2

【分析】 分别利用算术平均数、中位数、众数及方差的定义进行逐一排除即可确定答案．

【解答】 解： A ．平均数为

＝5 ，此选项错误；

B ．每个数据都只出现 1 次，所以众数不是 5 ，此选项错误；

C．中位数是 5 ，此选项错误；

D ．方差为

×[ （3 ﹣ 5）2+ （4 ﹣ 5）2+ （ 5 ﹣ 5）2+ （6 ﹣ 5）2+ （7 ﹣ 5）2] ＝2 ，此选项正 确；

故选： D．

【点评】 本题考查了算术平均数、中位数、众数及方差的定义，解题的关键是知道这几

种量的正确的求法．

10 ．（3 分） 如图，正比例函数y1＝k1x 的图象与反比例函数y2＝

的图象相交于 A ，B 两 点，其中点A 的横坐标为 2 ，当y1＜y2 时，x 的取值范围是（ ）

A．x＜ ﹣ 2 或 x＞2

C ． ﹣ 2＜x＜0 或 0＜x＜2

B．x＜ ﹣ 2 或 0＜x＜2

D ． ﹣ 2＜x＜0 或 x＞2

【分析】 根据题意可得 B 的横坐标为 2 ，再由图象可得当y1＜y2 时，x 的取值范围．

【解答】 解： ∵正比例函数y1＝k1x 的图象与反比例函数y2＝

点，

∴A ，B 两点坐标关于原点对称，

∵点A 的横坐标为 2，

∴B 点的横坐标为 ﹣ 2，

的图象相交于 A 、B 两

∵y1＜y2

∴在第一和第三象限，正比例函数y1＝k1x 的图象在反比例函数y2＝

∴x＜ ﹣ 2 或 0＜x＜2，

故选： B．

的图象的下方，

【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比

例函数图象交点关于原点对称．

二.填空题

11 ．（3 分） 因式分解： 3a3 ﹣ 27ab2＝ 3a（a+3b）（a ﹣ 3b） ． 【分析】 先提取公因式 3a ，再根据平方差公式进行二次分解． 【解答】 解： 3a3 ﹣ 27ab2

＝3a （a2 ﹣ 9b2） ﹣ ﹣ （提取公因式）

＝3a （a+3b）（a ﹣ 3b）．

故答案为： 3a （a+3b）（a ﹣ 3b）．

【点评】 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行

二次分解，注意分解要彻底．

12 ．（3 分） 已知关于 x 的一元二次方程 x2+kx ﹣ 3＝0 有一个根为 1 ，则 k 的值为 2 ． 【分析】 将 x＝1 代入一元二次方程 x2+kx ﹣ 3＝0 ，即可求得k 的值，本题得以解决． 【解答】 解： ∵一元二次方程 x2+kx ﹣ 3＝0 有一个根为 1，

∴12+k×1 ﹣ 3＝0，

解得，k＝2，

故答案为： 2．

【点评】 本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出k 的值．

13 ．（3 分） 已知扇形的弧长为 8π ，圆心角为 60° ，则它的半径为 24 ．

【分析】 根据弧长公式直接解答即可．

第 12页（共 29页）

【解答】 解： 设半径为 r，

8π＝

，

解得： r＝24，

故答案为： 24．

【点评】 此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式解答．

14 ．（3 分） 如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端 30 米的 B 处， 测得树顶A 的仰角∠ABO 为 31° ，则树 OA 的高度约为 18.0 米（结果精确到 0. 1 米，

sin31°≈0.5150 ，cos31°≈0.8572 ，tan31°≈0.6009）

【分析】 根据题意，在 Rt△ABO 中，BO ＝30 米， ∠ABO 为 31° ，利用三角函数求解． 【解答】 解： 在 Rt△ABO 中，

∵BO＝30 米， ∠ABO 为 31°，

∴AO＝BOtan31° ＝30×0.6009≈18.0（米）．

答： 树 OA 的高度约为 18.0 米，

故答案为： 18.0．

【点评】 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，

利用三角函数求解．

15 ．（3 分） 如图，二次函数y＝

（a ，b ，c 是常数且 a 为正整数） 的图象与 x 轴交于点A（ ﹣ 1 ，0）与y 轴的交点 B 在（0 ，2）与（0 ，3）之间（不包括这两点），对 称轴为直线 x＝2 ，则 a+bc 的值为 6 ．

【分析】 根据题意得 ﹣

﹣ b+c＝0，2＜c＜3，

且 a 为正整数，通过消元得出 2＜

a

＜3 ，进而确定出 a 、b 、c 的值，代入即可作答．

【解答】 解： 由题意知：

﹣

﹣ b+c＝0 ，2＜c＜3， ∴消去 b 得： c＝

a，

且 a 为正整数，

∴2＜

a＜3

∴

，

∵a 为正整数

∴a＝1

∴b＝2 ，c＝

，

∴a+bc＝6，

故答案为： 6．

【点评】 本题主要考查二次函数的性质，解题关键是用 a 表示出 c 从而得出关于 a 的不 等式组，确定出 a 的值．

16 ．（3 分） 如图，△ABC 中，∠A＝60°，AC＞AB＞2 ，点 D，E 分别在边AB，AC 上，且

BD＝CE＝2，连接 DE，点 M 是 DE 的中点，点 N 是 BC 的中点，线段 MN 的长为

．

【分析】如图，作 CH∥AB，连接 DN，延长 DN 交 CH 于 H，连接 EH，作 CJ⊥EH 于 J．首

先证明 CH＝EC， ∠ECH＝120° ，解直角三角形求出 EH，利用三角形中位线定理即可

解决问题．

【解答】 解： 如图，作 CH∥AB ，连接 DN，延长 DN 交 CH 于 H，连接 EH，作 CJ⊥EH

于 J．

∵BD∥CH，

∴∠B＝ ∠NCH，

∵BN＝CN， ∠DNB＝ ∠KNC，

∵△DNB≌△HNC（ASA），

∴BD＝CH，DN＝NH，

∵BD＝EC＝2，

∴EC＝CH＝2，

∵∠A+∠ACH＝180° ， ∠A＝60°，

∴∠ECH＝120°，

∵CJ⊥EH，

∴EJ＝JH＝EC•cos30°＝

，

∴EH＝2EJ＝2

，

∵DM＝ME，DN＝NH，

∴MN＝

EH＝

．

故答案为

．

【点评】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解直角三角形等知 识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中

的压轴题．

三、解答题（共 9 小题，满分 0 分）

17 ．计算：

+ （ ﹣ 2019）0 ﹣ 8cos45°+ （

） ﹣ 1

【分析】 根据零指数幂和负整数指数幂的定义、算术平方根的定义以及特殊角的三角函

数值分别化简计算即可．

【解答】 解： 原式＝3

+1 ﹣ 4

+2＝3 ﹣

．

【点评】 本题考查了实数的运算，掌握零指数幂和负整数指数幂的定义、算术平方根的 定义以及特殊角的三角函数值是解题的关键．

18 ．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC 过点 C 的射线 CF 交边 AB 于点 F，AD⊥

CF 于点 D ，BE⊥CF 于点 E，AD＝3 ，BE＝1．

（1）求证： △ADC≌△CEB．

（2）求 DE 的长．

【分析】（1）易证∠CAD＝ ∠BCE ，即可证明△ACD≌△BCE；

（2）利用全等三角形的性质即可解决问题．

【解答】（1）证明： ∵∠BCE+∠ACD＝90° ， ∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝ ∠BCE，

在△ACD 和△BCE 中，

， ∴△ACD≌△BCE（AAS）；

（2）解： ∵△ACD≌△BCE，

∴CD＝BE，AD＝CE，

∵AD＝3 ，BE＝1，

∴DE＝CE ﹣ CD＝3 ﹣ 1＝2．

【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决 问题．

19 ．如图所示的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字 ﹣ 1 ，0 ，1，2．若

转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时， 第 16页（共 29页）

不记，重转），请用树状图或列表法求记录的两个数字都是正数的概率．

【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个数字都 是正数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】 解： 画树状图得：

∵共有 16 种等可能的结果，两个数字都是正数的有 4 种情况，

∴两个数字都是正数的概率是

＝

．

【点评】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复 不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件； 树状图法适合两步或两

步以上完成的事件，解题时注意： 概率＝所求情况数与总情况数之比．

20．某学校为了了解九年级学生的体能情况，抽取了部分学生进行了体能测试，学生的测试 成绩分四类： A：优秀； B： 良好； C：合格； D 不合格，将抽测学生的成绩绘制成如下

两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：

（1）求本次调查的学生总人数；

（2）成绩为 C 的女生有 2 人，成绩为 D 的男生有 1 人；

（3）扇形统计图中成绩为 D 的学生所对应的扇形的圆心角度数为 36° ；

（4）补全条形统计图．

【分析】（1）用 A 类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；

（2）先分别计算出 C 类和 D 类人数，然后分别计算出成绩为 C 的女生数，成绩为 D 的

男生数；

（3）用 360°乘以成绩为 D 的学生的百分比得到成绩为 D 的学生所对应的扇形的圆心角

度数；

（4）补全条形统计图．

【解答】 解：（ 1）（1+2） ÷15%＝20，

所以本次调查的学生总人数为 20 人；

（2）C 类的女生数为 20×25% ﹣ 3＝2（人）；

成绩为 D 的男生数为 20 ﹣ 3 ﹣ 10 ﹣ 5 ﹣ 1＝1 （人）；

（3）扇形统计图中成绩为 D 的学生所对应的扇形的圆心角度数＝360°

故答案为 2 ，1 ，36°；

×

＝36°；

（4）补全条形统计图为：

【点评】 本题考查了条形统计图： 条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少 画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出

数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图．

21．一艘轮船在静水中的最大航速为 35 千米/时，当江水匀速流动时，这艘轮船以最大航速 沿江顺流航行 120 千米所用时间，与以最大航速沿江逆流航行 90 千米所用时间相同，求

江水的流速．

【分析】 设江水的流速为 x 千米/时，根据时间＝路程÷速度结合顺流航行 120 千米所用 时间与逆流航行 90 千米所用时间相同，即可得出关于 x 的分式方程，解之即可得出结论．

【解答】 解： 设江水的流速为 x 千米/时，

依题意，得：

＝

，

解得： x＝5，

经检验，x＝5 是原方程的解，且符合题意．

答： 江水的流速为 5 千米/时．

【点评】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

22 ．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，点 O 在边 BC 上，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆 经过点A ，过点 A 作直线AD ，使∠CAD＝2∠B．

（1）判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）若 OB＝4 ， ∠CAD＝60° ，请直接写出图中弦AB 与

围成的阴影部分的面积．

【分析】（1）连接 OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝ ∠B，求得∠COA＝ ∠COA， 推出 OA⊥AD ，于是得到结论；

（2）根据邻补角的定义得到∠AOB＝120° ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结

论．

【解答】 解：（ 1）直线AD 与⊙O 的位置关系是相切，

理由： 连接 OA，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝ ∠B，

∴∠COA＝2∠B，

∴∠CAD＝ ∠COA，

∵∠C＝90°，

∴∠COA+∠OAC＝90°，

∴∠CAO+∠CAD＝90°，

∴∠OAD＝90°，

∴OA⊥AD，

∴直线 AD 与⊙O相切；

（2） ∵∠CAD＝60°，

∴∠COA＝ ∠CAD＝60°，

∴∠AOB＝120°，

∴∠B＝ ∠OAB＝30°，

∴阴影部分的面积＝S 扇形AOB ﹣ S△AOB＝

﹣

×4

×2＝

﹣ 4

．

【点评】 本题考查直线与圆的位置关系、扇形面积、三角形面积等知识，解题的关键是 记住切线的判定方法，扇形的面积公式，属于中考常考题型．

23 ．如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为（7 ，5），顶点A ，C 分别在 x 轴，y 轴上，点 D 的坐标为（0 ，1），过点 D 的直线与矩形 OABC 的边 BC 交于点 G ， 且点 G 不与点 C 重合，以 DG 为一边作菱形 DEFG ，点 E 在矩形 OABC 的边 OA 上，设

直线 DG 的函数表达式为y＝kx+b

（1）当 CG＝OD 时，求直线 DG 的函数表达式；

（2）当点 E 的坐标为（5 ，0）时，求直线 DG 的函数表达式；

（3）连接 BF，设△FBG 的面积为 S，CG 的长为 a ，请直接写出 S 与 a 的函数表达式及

自变量 a 的取值范围．

【分析】（1）利用矩形的性质结合点 B 的坐标可得出点A ，C 的坐标，由点 D 的坐标结 合 CG＝OD 可得出点 G 的坐标，由点 D ，G 的坐标，利用待定系数法即可求出直线 DG 的函数表达式；

（2）利用勾股定理可求出 DE 的长，由菱形的性质及勾股定理可求出 CG 的长，进而可 得出点 G 的坐标，由点 D，G 的坐标，利用待定系数法即可求出直线 DG 的函数表达式；

（3）设 DG 交 x 轴于点 P ，过点 F 作 FM⊥x 轴于点 M，延长 MF 交 BC 于点 N，易证△

DCG≌△FME（AAS），利用全等三角形的性质可得出 FM 的长度，进而可得出 FN 的长， 第 20页（共 29页）

再利用三角形的面积公式可得出 S 与 a 的函数表达式，结合点 G 不与点 C 重合及点 E 在

OA 上可求出 a 的取值范围，此题得解．

【解答】 解：（ 1）∵四边形 OABC 为矩形，点 B 的坐标为（7，5），点 A ，C 分别在 x 轴，

y 轴上，

∴点 C 的坐标为（0 ，5），点 A 的坐标为（7 ，0）．

∵点 D 的坐标为（0 ，1），CG＝OD，

∴点 G 的坐标为（ 1 ，5）．

将 D（0 ，1），G（1 ，5）代入y＝kx+b ，得：

，解得：

，

∴当 CG＝OD 时，直线 DG 的函数表达式为y＝4x+1．

（2）在 Rt△ODE 中，OD＝1 ，OE＝5 ， ∠DOE＝90°，

∴DE＝

＝

．

∵四边形 DEFG 为菱形，

∴DG＝DE＝

．

在 Rt△CDG 中，DG＝

，CD＝OC ﹣ OD＝4 ， ∠DCG＝90°，

∴CG＝

＝

，

∴点 G 的坐标为（

，5）．

将 D（0 ，1），G（

，5）代入y＝kx+b ，得：

，解得：

，

∴当 CG＝OD 时，直线 DG 的函数表达式为y＝

x+1．

（3）设 DG 交 x 轴于点 P ，过点 F 作 FM⊥x 轴于点 M，延长 MF 交 BC 于点 N，如图所 示．

∵DG∥EF，

∴∠FEM＝ ∠GPO．

∵BC∥OA，

∴∠DGC＝ ∠GPO ＝ ∠FEM．

，

在△DCG 和△FME 中，

∴△DCG≌△FME（AAS），

∴FM＝DC＝4．

∵MN⊥x 轴，

∴四边形 OMNC 为矩形，

∴MN＝OC＝5 ，FN＝MN ﹣ FM＝1．

∴S＝

BG•FN＝

（7 ﹣ a）．

∵点 E 在边 OA 上，点 G 在 BC 边上，且点 G 不与点 C 重合，

∴DE≤

＝5

，a＞0，

∴DG＝

≤5

，

∴0＜a≤

．

∴S 与 a 的函数表达式为 S＝

（7 ﹣ a ）（0＜a≤

）．

【点评】 本题考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、菱形的性质、勾股定 理、全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形的面积，解题的关键是： （ 1） 根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用勾股定理，求出点 G 的

坐标；（3）利用全等三角形的性质及三角形的面积公式，找出 S 关于 a 的函数关系式． 24 ．如图，△ABC 中， ∠ACB＝90°，AC＝4 ，BC＝6 ，点 E ，F 分别在边 AB ，BC 上，将

△ABC 沿直线 EF 折叠，点 B 恰好落在 AC 边上的点 D 处，且 CD＝3．

（1）求 CF 的长；

（2）点 G 是射线 BA 上的一个动点，连接 DG ，GC，BD ，△DGC 的面积与△DGB 的面

积相等，

①当点 G 在线段 BA 上时，求 BG 的长；

②当点 G 在线段 BA 的延长线上时，BG＝ 3

；

（3）将直线 EF 平移，平移后的直线与直线 BC ，直线 AC 分别交于点 M 和点 N，以线 段 MN 为一边作正方形MNPQ ，点 P 与点 B 在直线 MN 两侧，连接 PD ，当 PD∥BC 时， 请直接写出tan∠QBC 的值．

【分析】（1）如图 1 中，连接 DF，在 Rt△DCF 中，利用勾股定理，构建方程即可解决 问题．

（2）①如图 2 ﹣ 1 中，当 DG∥BC 时，S△DGC＝S△DGB．设 BG＝x．利用平行线分线段成 比例定理即可解决问题．

②如图 2 ﹣ 2 中，当点 G 在 BA 的延长线上时，证明 AB＝2AG 时，满足条件．

（3）如图 3 中，当 PD∥BC 时，作 QK⊥BC 于 K．利用全等三角形以及相似三角形的性 质解决问题即可．

【解答】 解：（ 1）如图 1 中，连接 DF，

∵将△ABC 沿直线 EF 折叠，点 B 恰好落在 AC 边上的点 D 处

∴DF＝BF

在 Rt△DCF 中，DF2＝DC2+CF2，

∴（6 ﹣ CF）2＝9+CF2，

∴CF＝

．

（2）①如图 2 ﹣ 1 中，当 DG∥BC 时，S△DGC＝S△DGB ．设 BG＝x．

在 Rt△ACB 中，AC＝4 ，BC＝6，

∴AB＝

＝2

，

∵DG∥BC，

∴

＝

，

∴

＝

，

∴x＝

．

②如图 2 ﹣ 2 中，当点 G 在 BA 的延长线上时，

∵CD＝3AD，

∴S△GDC＝3S△GAD，

∴当 S△ADB＝2S△ADG 时，S△GDC＝S△GBD，

∴AB＝2AG，

第 24页（共 29页）

∴AG＝

，

∴GB＝3

，

故答案为： 3

．

（3）如图 3 中，当 PD∥BC 时，作 QK⊥BC 于 K．

∵四边形MNPQ 是正方形，

∴易证△PDN≌△NCM≌△MKA，

∴KQ＝CM＝DN，KM＝CN＝PD，

∵△PDN∽△BCD，

∴

＝

，

∴

＝

，

∴PD＝2DN，

∴CN＝2DN，

∴DN＝1 ，CN＝2，

∴KQ＝DN＝CM＝1，KM＝CN＝2，

∴BK＝9，

∴tan∠QBC＝

＝

．

【点评】 本题属于四边形综合题，考查了三角形的面积，正方形的性质，解直角三角形， 全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参 数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考压轴

题．

25 ．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx ﹣

，过点 A（ ﹣ 3，2

）和点 B（2，

），与y 轴交于点 C，连接 AC 交 x 轴于点 D ，连接 OA ，OB

（1）求抛物线y＝ax2+bx ﹣

的函数表达式；

（2）求点 D 的坐标；

（3） ∠AOB 的大小是 90° ；

（4）将△OCD 绕点 O 旋转，旋转后点 C 的对应点是点 C′ ，点 D 的对应点是点D′， 直线AC′与直线 BD′交于点 M，在△OCD 旋转过程中，当点 M 与点 C′重合时，请 直接写出点 M 到 AB 的距离．

【分析】（1）用待定系数法即求出抛物线的函数表达式．

（2） 由于点 D 是连接 AC 交 x 轴而得，故先用待定系数法求直线 AC 解析式，令y＝0 即求得 D 的横坐标．

（3）用两点间距离公式求 OA2 、OB2、AB2 ，得到 OA2+OB2＝AB2 ，所以∠AOB＝90°．

（4）画出图形，发现点 M 与点 C′重合的位置在y 轴左右两侧各有一个，故需分类讨 论．①当重合点在y 轴右侧时，由△AOB 与旋转得到的△MOD'是含 30°角的特殊直角 三角形，联想到旋转过程中会有新出现的相似三角形，易证得△BOD'∽△AOM，所以对

应 角∠BD'O ＝ ∠AMO ＝ 60 ° ，进 而证 得∠AMD' ＝90 ° 即 AD' ⊥BM； 由对应边

，可设 BD'＝t，用 t 表示 AM、BM，在 Rt△AMB 中利用勾股定理列方程求解 t ，即得到△AMB 三边的长； 最后利用三角形面积公式即求得 M 到 AB 的距离．②当重 合点在y 轴左侧时，解题思路与①相同，只有用t 表示 BM 出现不同，求得的 t 不同． 【解答】 解：（ 1） ∵抛物线y＝ax2+bx ﹣

过点A （ ﹣ 3 ，2

）和点 B（2 ，

） ∴

解得：

∴抛物线的函数表达式为： y＝

x2+

x ﹣

（2）当 x＝0 时，y＝ax2+bx ﹣

＝ ﹣

∴C（0 ， ﹣

）

设直线AC 解析式为： y＝kx+c

∴

解得：

∴直线 AC 解析式为y＝ ﹣

x ﹣

当y＝0 时， ﹣

x ﹣

＝0 ，解得： x＝ ﹣ 1

∴D（ ﹣ 1 ，0）

（3）如图 1 ，连接AB

∵A （ ﹣ 3 ，2

），B （2 ，

）

∴OA2＝32+（2

）2＝21 ，OB2＝22+（

）2＝7，AB2＝（2+3）2+（ ∴OA2+OB2＝AB2

）2＝28

∴∠AOB＝90°

故答案为： 90°．

（4）过点 M 作 MH⊥AB 于点 H，则 MH 的长为点 M 到 AB 的距离．

①如图 2 ，当点 M 与点 C′重合且在y 轴右侧时，

∵△OCD 绕点 O 旋转得△OC'D' （即△OMD′）

∴OM＝OC＝

，OD'＝OD＝1 ， ∠MOD'＝ ∠COD＝90°

∴MD'＝

＝2 ， ∠MD'O＝60° ， ∠OMD'＝30°

∵∠MOD'＝ ∠AOB＝90°

∴∠MOD'+∠BOM＝ ∠AOB+∠BOM

即∠BOD'＝ ∠AOM

∵OA＝

，OB＝

∴

∴△BOD'∽△AOM

∴∠BD'O＝ ∠AMO ＝60°，

∴∠AMD'＝ ∠AMO+∠OMD'＝60°+30°＝90° ，即 AM⊥BD'

第 27页（共 29页）

．

设 BD'＝t（t＞0），则 AM＝

t ，BM＝BD' ﹣ MD'＝t ﹣ 2

∵在 Rt△AMB 中，AM2+BM2＝AB2

∴（

t）2+（t ﹣ 2）2＝28

解得： t1＝ ﹣ 2 （舍去），t2＝3

∴AM＝3

，BM＝1

∵S△AMB＝

AM•BM＝

AB•MH

∴MH＝

②如图 3 ，当点 M 与点 C′重合且在y 轴左侧时，

∴∠MOD' ﹣ ∠AOD'＝ ∠AOB ﹣ ∠AOD'

即∠AOM＝ ∠BOD'

∴同理可证： △AOM∽△BOD'

∴∠AMO＝ ∠BD'O ＝180° ﹣ ∠MD'O＝120°，

∴∠AMD'＝ ∠AMO ﹣ ∠OMD'＝120° ﹣ 30°＝90° ，即 AM⊥BD'

设 BD'＝t（t＞0），则 AM＝

t ，BM＝BD'+MD'＝t+2

∵在 Rt△AMB 中，AM2+BM2＝AB2

∴（

t）2+（t+2）2＝28

解得： t1＝2 ，t2＝ ﹣ 3 （舍去）

∴AM＝2

，BM＝4

∵S△AMB＝

AM•BM＝

AB•MH

∴MH＝

综上所述，点 M 到 AB 的距离为

或

第 28页（共 29页）

【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，解一元一次方程、二元 一次方程组、一元二次方程，勾股定理逆定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质， 等积法求点到直线的距离．前 3 小题是较简单的基础题型，第 4 小题需画出大致准确的 图形结合图形思考，发现旋转过程中隐含的不变量而得到全等或相似三角形．

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